En la primera parte de este artículo, relaté algunas anécdotas peculiares de la historia de la matemática, y conté brevemente como fue cambiando la forma de ver ésta a lo largo de la historia. Llegamos finalmente a la matemática moderna, caracterizada por el fortísimo rigor lógico como rasgo que la distingue de todas las demás disciplinas. Ahora me voy a meter un poco más en lo tedioso, pero que muchos tal vez no sepan y podría eventualmente ayudarlos a entender con que lente observar la matemática superior. Para eso, voy a comenzar por describir brevemente aquellas que yo considero que son las tres patas más importantes de la matemática: la lógica, la teoría de conjuntos y relaciones, y los sistemas axiomáticos; luego, les voy a mostrar algunos ejemplos de como estos tres elementos pueden combinarse para construir el gran edificio que hoy conocemos como matemática.
La lógica y los razonamientos deductivos
La matemática, como disciplina abstracta, no está interesada en evaluar lo que podríamos llamar contenido, lo empírico, lo real, sino en estudiar las formas; de ahí que se califique como ciencia formal (aunque a mi criterio no es una ciencia, por lo que usualmente suelo llamarla disciplina). La matemática entiende por forma la estructura y las relaciones, entre objetos desprovistos de contenido, y obtiene conclusiones en base a tales formas. Un ejemplo sencillo: la matemática establece que 2 x 10 = 20, y esta relación, completamente desprovista de contenido, será válida y mantendrá las mismas propiedades ya sea que para un almacenero represente que el cliente debe pagar 20 pesos por dos alfajores de 10 pesos cada uno, o que para un ingeniero represente que la superficie total de un pasillo es de 2 metros x 10 metros = 20 metros cuadrados. De esta manera, la matemática abstrae, eliminando el contenido y estudiando únicamente las formas, y para ello se vale del lenguaje formal de la lógica.
Sin meterme demasiado en cuestiones tediosas, diré que la lógica estudia las proposiciones, que se entienden como cualquier afirmación de la que uno pueda decir que es verdadera o falsa, sin importar el contenido y no admitiendo ninguna otra posibilidad. La matemática hereda esta visión binaria del mundo, y hace un extensísimo uso de ella con resultados notables. Las proposiciones, así como las oraciones del lenguaje común, pueden ser simples o estar compuestas de proposiciones más pequeñas unidas a través de conectivas que las relacionan. Las proposiciones permiten abstraerse por completo de cualquier contenido para enfocarse únicamente en las formas, determinadas por la interconexión entre proposiciones simples; por ejemplo, la proposición 'soy hombre y adulto' se puede representar lógicamente como 'p ^ q', donde el símbolo p equivale a 'soy hombre', el símbolo 'q' equivale a 'soy adulto' y el símbolo '^' es la conectiva 'y'. Idéntica representación tiene la proposición: 'soy profesor y músico'. En mi caso particular, ambas proposiciones son verdaderas; pero independientemente de si lo sean o no, lo que a efectos de la lógica compete es que ambas tienen idéntica forma.
Un elemento fundamental de la lógica es el razonamiento; un razonamiento lógico, o deductivo, es un procedimiento que permite, únicamente mediante la aplicación de leyes lógicas, deducir una conclusión a partir de una serie de premisas. Como ejemplo sencillo, piensen en las dos premisas: 'todos los perros son animales' y 'Nacho es un perro'. De estas dos premisas puede extraerse la conclusión 'Nacho es un animal', aplicando una sencilla ley lógica llamada modus ponens. Los razonamientos se estructuran todos de la misma forma, y se dice que un conjunto de premisas implica la conclusión. Todos los teoremas matemáticos adoptan esta estructura, y el proceso de deducción lógica de la conclusión a partir de las premisas es la famosa demostración del teorema.
La teoría de conjuntos y relaciones
La segunda de las tres patas de la matemática está dada por la teoría de conjuntos y la teoría de relaciones. La teoría de conjuntos es en algún punto bastante similar a la lógica proposicional antes descrita; de hecho, guarda una profunda relación conceptual. La idea es sencilla: elementos que compartan una determinada característica o rasgo definitorio son agrupados en un 'combo' que llamamos conjunto. Queda inmediatamente establecida una relación binaria muy sencilla: un objeto pertenece o no pertenece a un conjunto. También existen análogos de las leyes lógicas para los conjuntos.
En matemática es sumamente importante el concepto de relación binaria, que es bastante sencillo en su esencia: ciertos elementos de un conjunto A son vinculados con ciertos elementos de un conjunto B mediante alguna regla o patrón. La relación queda compuesta, entonces, por todos los pares de elementos, uno de A y uno de B, que cumplan dicha regla. Dependiendo de las características que tengan, las relaciones se pueden clasificar de diversas formas, siendo las más importantes las relaciones de equivalencia, las relaciones de orden y las relaciones funcionales. Una relación de equivalencia es, en esencia, una regla que impone algún criterio de 'igualdad' entre elementos. La igualdad entre números naturales, que nos resulta completamente obvia e intuitiva (que 2 es igual a 2, por ejemplo) es un ejemplo de relación de equivalencia; también lo es la igualdad entre números complejos, que es, valga la redundancia, un poco más compleja. La relación de 'menor' (<) que también usamos de manera intuitiva todo el tiempo es un ejemplo de relación de orden, porque permite ordenar mediante algún criterio los elementos de un conjunto. Este criterio no es igual para todos los conjuntos: por ejemplo, piensen que en los números naturales el más grande es mayor, pero en cambio en la tabla de posiciones de algún torneo deportivo, como la Superliga, es 'mayor' el que tiene asignada la posición más pequeña. Las relaciones funcionales vienen siendo las funciones que tanto nos fastidió estudiar en la secundaria, y los conjuntos que relacionan son esos susodichos 'dominio' e 'imágen' que nos hacían escribir una y otra vez.
¿Se vé como se va formando una cierta lógica? Así se construye la matemática: a partir de ciertos conjuntos, se van estableciendo relaciones entre ellos para definir conceptos más abstractos. Piensen un momento en este ejemplo: todos sabemos lo que es la suma, todos sabemos sumar. Pero posiblemente nunca nos hayamos a pensar que la suma es, en esencia, una regla que relaciona un par de elementos (sumandos) con otro (el resultado). De manera que algo tan trivial para nosotros, como lo es la operación de sumar, en la matemática puede ser reducido a conceptos más 'primitivos' como, el de relación. Esta es la abstracción de la que tanto he hablado. La matemática toda está construida por capas, como las cebollas o Shrek; en las capas más bajas encontramos la lógica y los conjuntos, y definir un par de relaciones y reglas le pone una capa por encima y pasamos a tener ya montones de números y operaciones definidas entre ellos. Un par de capas más nos permiten construir números más elaborados, como los racionales o los reales, y así sucesivamente. Cada nuevo concepto incorporado a la matemática se debe ubicar como un ladrillo que encaje perfecto sobre la gigantesca construcción ya existente.
Los sistemas axiomáticos y las teorías matemáticas
Y la última gran pata de la matemática, para mi entender, son los sistemas axiomáticos. Supongamos que la lógica y las proposiciones, los conjuntos y las relaciones, forman las vigas y los ladrillos que permiten construir un gran edificio cuando se colocan adecuadamente. Los sistemas axiomáticos vendrían a ser, entonces, el terreno donde el edificio se construye. Un sistema axiomático consiste en una serie de reglas o definiciones básicas que se aceptan como verdaderas y ya. Asi de sencillo. Parece arbitrario, ¿verdad? En parte lo es. Pero la situación cambia cuando esas reglas permiten el surgimiento de un gran edificio cuyas consecuencias son, por ejemplo, la electrónica que hace funcionar el aparato donde están leyendo esto. De eso se trata, precisamente: las reglas básicas pueden ser completamente arbitrarias en principio, pero si de ellas no sale nada útil serán descartadas. Obviamente. En cambio, si a partir de ellas se puede construir un complejo sistema que representa muy adecuadamente cantidades innumerables de sucesos y fenómenos del mundo real... bueno, ahí pareciese que no son tan arbitrarias.
Estamos en condiciones, finalmente, de establecer como se estructura la matemática de la manera que se entiende hoy en día. Primero, se establece un sistema axiomático. Se definen ciertos axiomas básicos, en forma de proposiciones, y algunos elementos primitivos que son usualmente conjuntos y relaciones. Los axiomas son entonces reglas absolutas que rigen el comportamiento de estos elementos. Dado que son proposiciones por definicion verdaderas, mediante el uso de reglas lógicas se pueden deducir otras proposiciones a través de ellos. Estos son los teoremas: enunciados que son consecuencia lógica de los axiomas. ¿En qué consiste un teorema? Básicamente, en una serie de premisas y una conclusión: un razonamiento deductivo. Para que un teorema sea considerado válido, tiene que respetar la forma del razonamiento deductivo; esto es, la conclusión debe poder deducirse de las premisas a partir de la aplicación de leyes lógicas. En principio las primeras premisas son los axiomas. Demostrar un teorema significa, precisamente, efectuar esta deducción. Una vez demostrado, el teorema se acepta como válido y pasa a formar parte de la teoría matemática junto con los axiomas, y puede ser usado a su vez como premisa para demostrar otros teoremas más complejos. Estas son, precisamente, las famosas demostraciones que tanto miedo les generan a los estudiantes universitarios en sus primeros años de carrera. Y el típico error que todos cometemos: nos piden demostrar y damos un ejemplo. ¡No! Seguramente en algún tiempo estaré escribiendo algún artículo sobre esto.
¿Se va comprendiendo la idea? Vamos a poner un ejemplo sencillo. Un sistema axiomático sencillo es el sistema axiomático de Peano, el cuál se compone de cinco axiomas a partir de los cuales se define el conjunto de los números naturales. A continuación, se definen dos relaciones importantes, la suma y la multiplicación de números naturales, y se demuestra que el resultado de dichas relaciones también satisface los axiomas de Peano. De esta manera queda formalmente definido el conjunto de los números naturales, con las operaciones que todos conocemos desde el colegio primario. Luego, es posible estudiar innumerables características de dicho conjunto y en base a ellas enunciar montones de teoremas, que deben ser demostrados a partir de los axiomas. Un ejemplo sencillo: el conjunto de los números naturales es infinito. Esta proposición, que parece trivial e intuitiva, no lo es en absoluto, porque en matemática no existe lo intuitivo. Toda proposición debe demostrarse a partir de los elementos validados de la teoría, esto es, los axiomas y todos los teoremas ya demostrados. Pues bien, este enunciado aparentemente tan trivial puede ser deducido a partir de los axiomas, y una vez demostrado adquiere la condición de teorema. Cuantos más teoremas se van agregando, más se enriquece la teoría; así, tenemos construida ya la planta baja del edificio, y poco a poco se le van agregando más detalles: las cañerías, la pintura, los muebles.
Los nuevos conceptos
Por supuesto, esto compone únicamente la base. Pero, sorprendentemente, todas las teorías matemáticas, desde la primera hasta la última, se estructuran de esta manera. Cada teoría genera nuevos conceptos, y hay dos formas de hacer esto; generalizando o abstrayendo conceptos ya existentes, o agregando un nuevo conjunto de axiomas.
Como ejemplo del primer caso, voy a describir un poco el más conocido. Ya dijimos como se definen los números naturales. Ahora bien, ¿cómo se definen los enteros? ¿Y los racionales? Para pasar de los números naturales a los enteros, se define una nueva relación que vincula pares cualesquiera de números naturales entre sí, digamos, (a, b) con (c, d). Esta relación dice que dos pares estarán relacionados exclusivamente si se cumple que a + d = b + c. Parece que no tiene el menor sentido, ¿no? Ahora mirémoslo de esta manera: sustituyamos el símbolo de la coma por el símbolo menos (-) de manera que los pares ahora son (a - b), (c - d). Con las reglas que conocemos desde el colegio sabemos que si ese menos representa la resta, para que esos pares sean iguales se tiene que cumplir la misma regla que dimos antes, que equivaldría a pasar sumando los b y c que están restando. Pensemos entonces que, como a, b, c y d pueden ser cualquier número natural, esa resta puede dar como resultado números positivos, negativos o cero. De manera que ese enunciado medio extraño que dimos, en realidad lo que está haciendo es agrupar pares de números naturales identificados por su resta. Re loco, ¿no? Pero vean que funciona: así, cada par (a, b) o (c, d) pasa a ser un número entero: supongamos a = 2 y b = 3, ambos números naturales; el par (a, b) sería (a - b) = 2 - 3 = - 1, un número que no es natural. Así, para todos los pares posibles de números naturales, queda definido un entero. ¡Casi parece magia! Y todo se hizo solo a partir de introducir una nueva relación en un sistema que ya estaba construido. El caso de los racionales es muy parecido: se define una nueva relación que agrupa pares de números enteros a los que convenimos en llamar numerador y denominador, de manera que cumplan que (a / b) está relacionado con (c / d) exclusivamente si a x d = b x c; esta reglita es la que estudiamos en la secundaria como ley fundamental de las proporciones, y es la misma que se usa para definir los números racionales.
De esta manera, se van agregando nuevos pisos al edificio; y así podemos seguir días y días. Una vez agregamos los números reales, otra los complejos; otra los vectores, y otra las matrices, y así sucesivamente. Y sobre cada uno de esos nuevos pisos, se pueden enunciar toneladas de proposiciones que al demostrarlas se convierten en teoremas y pasan a formar parte del sistema. Y cada vez vamos viendo un edificio más grande y más imponente, muchísimo más rico y más complejo, pero que no deja de ser eso: un edificio construido ladrillo por ladrillo.
A medida que vamos expandiendo nuestro edificio a conjuntos cada vez más altos, puede pasar que los nuevos conjuntos no sean capaces de respetar las mismas leyes que los anteriores. En general, siempre es deseable en matemática que al generalizar cualquier concepto se conserven la mayor cantidad posible de leyes establecidas, pero no siempre ocurre así. Por ese motivo, hay teoremas que son válidos en el marco de los números naturales, pero no por ejemplo en el de los racionales; un ejemplo de esto es el axioma de inducción completa, uno de los cinco axiomas básicos de Peano. Como las generalizaciones y abstracciones son muchísimas, el recurso que los matemáticos tomaron es el de ponerle un nombre a cada sistema axiomático que cumpla determinadas características. Así, tenemos sistemas con estructura de grupo, como el formado por los números enteros y la operación de sumar; sistemas con estructura de anillo, como el formado por los números enteros y las operaciones de sumar y multiplicar; y sistemas con estructuras mucho más complejas como la de espacio vectorial, como lo es por ejemplo el espacio de tres dimensiones. Cada una de estas estructuras toma como base elementos primitivos diferentes y conjuntos de axiomas diferentes; de ahí la importancia de siempre saber sobre qué sistema se está trabajando.
En conclusión, la matemática es extremadamente complicada, pero como toda obra compleja está construida a partir de elementos super simples. Para poder entenderla, hay que entender su forma de operar: la total abstracción del contenido, y la lógica de los razonamientos deductivos como mandamás absoluto. Como ocurre con toda habilidad, hay que entrenar adecuadamente nuestro cerebro para poder pensar 'a la manera matemática'. Con algo de suerte, con este artículo los haya introducido un poco a esta manera de pensar nueva y tan distinta para muchos.