¿Qué es la tasa de variación media?
La tasa de variación media (T. V. M.) de una función en un intervalo cerrado mide el aumento o disminución de esa función en el mismo intervalo. En otras palabras, estamos viendo qué tan inclinada o "hundida" es la pendiente en un tramo de la función. Medimos qué tanto incrementa la y dividido entre lo que varía la x en una parte específica de la función.
Cómo calcular la T.V.M de una función f(x) en un intervalo [a, b] (versión fácil)
Como ya vimos, la tasa de variación media es lo que incrementa o disminuye la f(x) o "y" respecto a la "x". Es decir, un cociente. Su fórmula es la siguiente:
T.V.M. [a, b] = (f(b) - f(a)) / (b - a)
Truco para memorizar la fórmula: Piensa en la palabra "baba" o "Alibaba". Así sabrás que la b va primero que la a en el numerador y denominador.
Ahora supongamos que se nos pide calcular la T.V.M. de la función f(x)= x^2-x+3 en el intervalo [2, 3]. Se resolvería tal que así:
- Identificar qué es a y qué es b.
- Hallar el valor de f(b).
- Hallar el valor de f(a) (no importa si haces primero el paso 2 y luego el 3).
- Insertar los valores en la fórmula y resolver.
Paso 1: Si nos piden calcularla en un intervalo [a, b], el valor de la izquierda es a y el valor de la derecha es b. Por lo tanto, a equivale a 2, y b equivale a 3.
Paso 2: Hallamos el valor de f(b) insertando el valor de b en la función y resolviendo:
- f(3) = 3^2 - 3 + 3 = 9 - 3 + 3 = 9
Paso 3: Hacemos lo mismo con f(a):
- f(2) = 2^2 - 2 + 3 = 4 - 2 + 3 = 5
Paso 4: Insertamos resultados en nuestra fórmula y operamos:
- (f(b) - f(a)) / (b - a) = (9 - 5) / (3 - 2) = 4 / 1 = 4
La T.V.M. de la función f(x) = x^2 - x + 3 en el intervalo [2, 3] es 4.
Demostración gráfica
Podemos observar el incremento de la función desde los puntos (2, 5) y (3, 9). La línea roja es la función y la línea azul es la pendiente que pasa por los dos puntos del intervalo (recta tangente), que equivale a la pendiente de la función. Esta recta es la función f(x) = 4x - 3, por lo que tiene un incremento de 4 respecto a la x.
Se ve como por cada unidad que la función avanza en el eje x, la función asciende 4 unidades en el eje y. Es como si por cada gol que marcaras te regalaran cuatro pastelillos.
Nuestra función se desplazó una unidad en horizontal (de 2 a 3) y cuatro unidades en vertical (de 5 a 9). Todo en el intervalo cerrado de [2, 3].
La T.V.M. de una función f(x) en un intervalo [a, a + h] (versión difícil)
Ahora que ya vimos cómo es la T.V.M. con un intervalo cerrado [a, b], veamos cómo se hace con un intervalo [a, a + h].
Hay dos principales diferencias.
La primera es que estamos manejando una incógnita/variable, h, por lo que el resultado de la T.V.M. también contendrá la variable h. Esto puede resultar confuso, pero es así. Como h es variable, el resultado en el que aparece h también lo será.
La segunda implica que tendremos que insertar no solo un número, sino una suma de una letra y un número (a + h) en la operación. Aquí tendremos que ser cuidadosos a la hora de insertar los valores, ya que si lo hacemos muy de prisa o nos despistamos podemos saltarnos signos negativos o potencias. Errores como estos te pueden costar el ejercicio entero en un examen.
Esta vez la fórmula es casi la misma. Solo se cambia f(b) por f(a + h):
T.V.M. ([a, a + h]) = (f(a + h) - f(a)) / (f(a + h) - f(a))
Dicho esto, calculemos la T.V.M. de la función f(x) = x^2 - x + 3 en el intervalo [2, 3]. Los mismos del ejercicio anterior. Seguiremos las mismas instrucciones:
- Diferenciar a de a + h. Esto ya te lo dice el intervalo, por lo que me salto este paso.
- Hallar el valor de f(a).
- Hallar el valor de f(a + h). Por precaución, siempre insertar "a + h" entre paréntesis.
- Sustituir las funciones por los resultados que obtuvimos y operar.
Paso 2: Sustituimos en f(x) el valor de a por el de x y operamos:
f(2) = 2^2 - 2 + 3 = 4 - 2 + 3 = 5
Paso 3: Sustituimos en f(x) el valor de a + h por el de x y operamos. Poner a + h entre paréntesis:
f(2 + h) = (2 + h)^2 - (2 + h) + 3 = (4 + 4h + h^2) - 2 - h + 3 = h^2 + 3h + 5
Paso 4: Ponemos nuestros resultados en la fórmula y operamos:
(f(a + h) - f(a)) / ((a + h) - a)) = (h^2 + 3h + 5) - 5) / (2 + h) - 2 = (h^2 + 3h) / h = (h + 3) / 1 = h + 3
La T.V.M. es h + 3. Este es el resultado final; ya no hay más pasos. El resultado aplica para cualquier valor que tenga h.
Si te resulta confuso, supón que h equivale a 1. Ve a la demostración gráfica de antes y verás que si h equivale a 1. h sería la distancia entre el 2 y el 3. Entonces sería el MISMO ejemplo de antes:
f(2 + h) = f(3) -> h^2 + 3h + 5 = (1)^2 + 3(1) + 5 = 9
h + 3 = 4
Cuestiones finales
¿Por qué se le llama intervalo "cerrado"?
Existen dos tipos de intervalos: los abiertos y los cerrados. Los intervalos abiertos incluyen lo que hay dentro de ellos, pero no sus dos puntos extremos. Al contrario, los intervalos cerrados sí incluyen sus dos puntos extremos.
Ejemplo: el intervalo abierto (2,3) incluye a números desde el 2,0000..1 hasta el 2,9999..9. El intervalo cerrado [2, 3] incluye números desde el 2 al 3.
¿Por qué "b - a" y no "a - b"?
Porque medimos la variación entre dos puntos (intervalo) midiendo el valor del segundo punto (o sea, b) con respecto al punto anterior (punto a). Si hacemos la operación haciendo "a-b" nos saldrá la T.V.M. con el signo opuesto.
¡Muchas gracias por leer mi artículo! Espero que te haya gustado y que hayas aprendido algo nuevo. Si quieres que tu hij@ o tú empiecen el instituto con apoyo escolar con un profesor particular de matemáticas, no dudes en contactarme a mi o a otro de la plataforma.